Question

20．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为$\frac{2}{3}$π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为$\frac{27\sqrt{3}}{2}$+$\frac{27}{8}$-9π．

Answer 1

分析 利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²），从而可求误差．

解答 解：扇形半径r=3$\sqrt{3}$
扇形面积等于$\frac{1}{2}•\frac{2π}{3}•（3\sqrt{3}）^{2}$=9π（m²）
弧田面积=9π-$\frac{1}{2}$r²sin$\frac{2π}{3}$=9π-$\frac{27\sqrt{3}}{4}$（m²）
圆心到弦的距离等于$\frac{1}{2}r$，所以矢长为$\frac{1}{2}r$．
按照上述弧田面积经验公式计算得$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）=$\frac{1}{2}$（9×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{27}{4}$）=$\frac{27}{4}$（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$）．
∴9π-$\frac{27\sqrt{3}}{4}$-$\frac{27}{4}$（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$）=9π-$\frac{27\sqrt{3}}{2}$-$\frac{27}{8}$
按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π-$\frac{27\sqrt{3}}{2}$-$\frac{27}{8}$平方米．
故答案为：$\frac{27\sqrt{3}}{2}$+$\frac{27}{8}$-9π．

点评 本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．