Question

10．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AQ}=y\overrightarrow{AC}$，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）求$\frac{{{S_{△APQ}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由D为BC的中点，M为AD的中点，$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AQ}=y\overrightarrow{AC}$，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；
（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=$\frac{{x}^{2}}{4x-1}$，（$\frac{1}{3}$≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．

解答 解：（1）如图所示：
∵D为BC的中点，M为AD的中点，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
又∵PQM三点共线，
故$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AP}$+（1-λ）$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{AB}+（1-λ）y\overrightarrow{AC}$，
故$\left\{\begin{array}{l}λx=\frac{1}{4}\\（1-λ）y=\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
故$\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}$=1，
即y=f（x）=$\frac{x}{4x-1}$，（$\frac{1}{3}$≤x≤1）
（2）设△ABC的面积为1，
则△APQ的面积S=xy=$\frac{{x}^{2}}{4x-1}$，（$\frac{1}{3}$≤x≤1）
故S′=$\frac{4{x}^{2}-2x}{（4x-1）^{2}}$，
当$\frac{1}{3}$≤x$＜\frac{1}{2}$时，S′＜0，函数为减函数，
当$\frac{1}{2}$＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，
故当x=$\frac{1}{2}$时，S取最小值$\frac{1}{4}$，
当x=$\frac{1}{3}$，或x=1时，S取最大值$\frac{1}{3}$，
故$\frac{{{S_{△APQ}}}}{{{S_{△ABC}}}}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．