Question

8．已知函数f（x）=Acos（wx+Φ）（A＞0，w＞0，|Φ|≤$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示：
（1）求f（x）的表达式；
（2）若cosθ=$\frac{3}{5}$，θ∈（$\frac{3}{2}$π，2π），求f（2θ+$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由余弦函数的图象的对称中心坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用同角的三角函数基本关系式可求sinθ，利用倍角公式可求sin2θ，cos2θ的值，根据两角和的余弦函数公式即可求值．

解答 解：（1）由函数f（x）=Acos（ωx+Φ）（ A＞0，ω＞0，|Φ|≤$\frac{π}{2}$）的部分图象，可得A=2，T=$\frac{2π}{ω}$=2（$\frac{13π}{12}$-$\frac{π}{12}$）=2π．求得ω=1．
再根据1×$\frac{π}{12}$+Φ=2kπ，k∈z，求得Φ=2kπ-$\frac{π}{12}$，
∴Φ=-$\frac{π}{12}$，f（x）=2cos（x-$\frac{π}{12}$）．
（2）∵cosθ=$\frac{3}{5}$，θ∈（$\frac{3}{2}$π，2π），可得：sinθ=-$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2θ=2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$，cos2θ=2cos²θ-1=-$\frac{7}{25}$，
∴f（2θ+$\frac{π}{3}$）=2cos（2θ+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=2cos（2θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$（cos2θ-sin2θ）=$\sqrt{2}$（-$\frac{7}{25}$+$\frac{24}{25}$）=$\frac{17\sqrt{2}}{25}$．

点评 本题主要考查由函数y=Acos（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了同角的三角函数基本关系式，倍角公式，两角和的余弦函数公式的应用，由周期求出ω，由余弦函数的图象的对称中心坐标求出φ的值，属于基础题．