已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$.|$\overrightarrow{b}$|=1.$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为45°.求使向量$(2\overrightarrow a-λ\overrightarrow b)$与$(λ\overrightarrow a-3\overrightarrow b)$的夹角是锐角的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为45°，求使向量$（2\overrightarrow a-λ\overrightarrow b）$与$（λ\overrightarrow a-3\overrightarrow b）$的夹角是锐角的实数λ的取值范围．

分析根据题意便知$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）•（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）＞0$，从而根据条件进行数量积的运算便可得出λ²-7λ+6＜0，再求出$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）$与$（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$同向时λ的取值，这样便可得出λ的取值范围．

解答解：$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）$与$（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$夹角为锐角时，$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）•（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$=$2λ{\overrightarrow{a}}^{2}-（6+{λ}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3λ{\overrightarrow{b}}^{2}$=4λ-（6+λ²）+3λ＞0；
解得1＜λ＜6；
当$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）$与$（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$同向时，设$λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=m（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）$，且m＞0，则：
$\left\{\begin{array}{l}{λ=2m}\\{3=λm}\end{array}\right.$；
解得$m=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$λ=\sqrt{6}$；
∴实数λ的取值范围为（1，$\sqrt{6}$）∪（$\sqrt{6}$，6）．

点评考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，共线向量基本定理，平面向量基本定理，解一元二次不等式．