Question

9．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），对称轴为x=1，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[-2，1]，不等式$f（x）≤m-\frac{3}{2}{x^2}$恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知-$\frac{b}{2a}$=1，△=（b-1）²-4a×0=0，进而求出a，b值；
（2）不等式可整理为x²+x≤m恒成立，只需求出左式的最大值即可得出m的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx的对称轴为直线x=1，且方程f（x）=x有等根．
∴-$\frac{b}{2a}$=1，由方程有两个相等实根，得△=（b-1）²-4a×0=0，
∴b=1，a=-$\frac{1}{2}$
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x；
（2）$f（x）≤m-\frac{3}{2}{x^2}$恒成立，
∴x²+x≤m恒成立，
令g（x）=x²+x，
∴g（x）_max=2，
∴m≥2．

点评 考查了二次函数性质和恒成立问题的转换，属于基础题型，应熟练掌握．