Question

经过双曲线x²-y²=1的左焦点F₁作倾斜角为

π

3

的弦AB．求：
（1）|AB|；
（2）△F₂AF₁的周长．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；将直线的方程代入双曲线的方程，利用两点的距离公式求出|AB|．
（2）利用焦半径公式求出|F₂A|，|F₂B|，利用韦达定理求出|F₂A|，|F₂B|的和，求出三角形的周长．

解答： 解：（1）双曲线的左焦点为F₁（-

2

，0），直线AB的斜率k=tan

π

3

=

3

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线AB：y=

3

（x+

2

），
代入x²-y²=1整理得2x²+6

2

x+7=0
∴x₁+x₂=-3

2

，x₁x₂=

7

2

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

18-14

=2，
∴|AB|=

1+ 3 2

|x₁-x₂|=4；
（2）|F₂A|=-

2

x₁+1，|F₂B|=-

2

x₂+1，
∴|F₂A|+|F₂B|=-

2

（x₁+x₂）+2=8，
∴△F₂AB的周长为8+4=12．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式的运用，考查三角形的周长，属于中档题．