Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[

1

3

，e]上的值域；
（2）对?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）由题意，f′（x）=lnx+1；从而根据导数的正负确定函数的单调区间，再求值域即可；
（2）2f（x）≥g（x）可化为2xlnx≥-x²+ax-3；故a≤2lnx+x+

3

x

；令F（x）=2lnx+x+

3

x

，从而化恒成立问题为最值问题；
（3）不等式lnx＞

1

ex

-

2

ex

可化为lnx•x＞

x

ex

-

2

e

；从而可证明lnx•x≥-

1

e

，

x

ex

-

2

e

≤-

1

e

；且等号不能同时成立，从而证明．

解答： 解：（1）由题意，f′（x）=lnx+1；
故当x∈[

1

3

，

1

e

）时，f′（x）＜0，当x∈（

1

e

，e]时，f′（x）＞0；
故f（x）在[

1

3

，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，e]上单调递增；
且f（

1

e

）=-

1

e

；f（

1

3

）=-

ln3

3

；f（e）=e；
故函数f（x）在[

1

3

，e]上的值域为[-

1

e

，e]；
（2）对x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）可化为
2xlnx≥-x²+ax-3；
故a≤2lnx+x+

3

x

；
令F（x）=2lnx+x+

3

x

，
则F′（x）=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

；
故F（x）=2lnx+x+

3

x

在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
故F（x）≥F（1）=1+3=4；
故对?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立可化为a≤4；
即实数a的取值范围为a≤4；
（3）证明：不等式lnx＞

1

ex

-

2

ex

可化为lnx•x＞

x

ex

-

2

e

；
由（I）得：lnx•x≥-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时，取最小值；
设m（x）=

x

ex

-

2

e

；则m′（x）=

1-x

ex

，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
故当x=1时，m（x）取最大值-

1

e

；
故对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题，属于难题．