Question

已知抛物线C：x²=ay（a＞0），M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）当a=4且M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线AB恒过定点；
（Ⅲ）是否存在抛物线C，使得以A、B为直径的圆恒过点M，若有，求出这样的抛物线，若没有，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，由此利用根的判别式、圆的性质，结合已知条件能求出过M，A，B三点的圆的方程．
（Ⅱ）设M（x₀，0），A（x₁，

1

a

x12），B（x₂，

1

a

x22），由y=

1

a

x2，利用导数的几何意义推导出AB的方程为y=

2x0

a

x+1，由此能证明直线AB过定点（0，1）．
（Ⅲ）假设这样的点存在，则

MA

•

MB

=0恒成立，从则(x1-x0，

1

a

x12+1)(x2-x0，

1

a

x22+1)=0恒成立，由此推导出这样的抛物线存在，其方程为x²=4y．

解答： （Ⅰ）解：当M的坐标为（0，-1）时，
设过M点的切线方程为y=kx-1，
由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，（1）
令△=（4k）²-4×4=0，解得：k=±1，
代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），
设圆心P的坐标为（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，
故过M，A，B三点的圆的方程为x²+（y-1）²=4．…（4分）
（Ⅱ）证明：设M（x₀，0），A（x₁，

1

a

x12），B（x₂，

1

a

x22），
∵y=

1

a

x2，∴y′=

2

a

x，
∴直线MA，MB的方程为y=

2

a

x1x-

1

a

x12，y=

2

a

x2x-

1

a

x22，…（6分）
∵直线MA，MB过M点，∴-1=

2

a

x1x0-

1

a

x12，-1=

2

a

x2x0-

1

a

x22．
∴x₁，x₂满足方程

1

a

x2-

2x0

a

x-1=0，…（8分）
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-a，
∴AB的方程为y=

2x0

a

x+1，
∴直线AB过定点（0，1）．…（10分）
（Ⅲ）解：假设这样的点存在，则

MA

•

MB

=0恒成立
∴(x1-x0，

1

a

x12+1)(x2-x0，

1

a

x22+1)=0恒成立，…（12分）
∴（

4

a

-1）x₀+4-a=0对任意的x₀恒成立，
∴a=4，这样的抛物线存在，其方程为x²=4y．…（14分）

点评：本题考查过M，A，B三点的圆的方程的求法，考查直线AB恒过定点的证明，考查是否存在抛物线C，使得以A、B为直径的圆恒过点M的判断与求法，解题时要注意椭圆、圆、向量、导数等知识点的综合运用．