Question

7．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：

x	x1	$\frac{1}{3}$	x2	$\frac{7}{3}$	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	0

（1）请写出上表的x₁、x₂、x₃，并直接写出函数的解析式；
（2）将f（x）的图象沿x轴向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小；
（3）求△OQP的面积．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，可得P、Q、M的坐标，利用两个向量的夹角公式求得∠OQP的余弦值，可得∠OQP的值．
（3）根据根据函数图象的对称性可知线段PQ必过点M，由 S_△OQP=S_△POM+S_△QOM，求得它的值．

解答 解：（1）由题意可得A=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7}{3}$-$\frac{1}{3}$，求得ω=$\frac{π}{2}$．
再根据五点法作图可得$\frac{π}{2}$•$\frac{1}{3}$+ϕ=$\frac{π}{2}$，∴ϕ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
（2）将f（x）的图象沿x轴向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到
函数对应的解析式为 $g（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{2}x$，
因为P、Q分别为该图象的最高点和最低点，
所以，$P（1，\sqrt{3}），Q（3，-\sqrt{3}）$，
所以，$\overrightarrow{QO}=（-3，\sqrt{3}），\overrightarrow{QP}=（-2，2\sqrt{3}）$，$|\overrightarrow{QO}|=\sqrt{12}，|\overrightarrow{QP}|=4，\overrightarrow{QO}•\overrightarrow{QP}=12$，
∴$cos∠OQP=\frac{{\overrightarrow{QO}•\overrightarrow{QP}}}{{|\overrightarrow{QO}||\overrightarrow{QP}|}}=\frac{12}{{2\sqrt{3}×4}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以$∠OQP=\frac{π}{6}$．
（3）$OM=\frac{T}{2}=2$，根据函数图象的对称性可知线段PQ必过点M（如图），
∴S_△OQP=S_△POM+S_△QOM=$\frac{1}{2}$|y_P|•OM+$\frac{1}{2}$|y_Q|•OM=|y_P|•OM=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两个向量的夹角公式，属于中档题．