Question

已知正项数列{b_n}的前n项和S_n满足：6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*），且b₁＜2．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}满足：a1=2，an=(1+

1

bn

)an-1(n≥2，且n∈N^*），试比较a_n与

3	bn+1

的大小，并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（Ⅰ）利用数列通项与前n项和的关系，得到数列是等差数列，利用等差数列通项公式，{b_n}的通项公式；（Ⅱ）

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{b_n}的前n项和S_n满足：6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*），①
∴当n=1时，
6b₁=b₁²+3b₁+2，b₁=1或b₁=2，
∵b₁＜2，
∴b₁=1．
当n≥2，n∈N^*时，
6S_n-1=b_n-1²+3b_n-1+2，②
由①-②得：6b_n=（b_n²+3b_n+2）-（b_n-1²+3b_n-1+2），
∴b n2-b n-12=3（b_n+b_n-1），
∵正项数列{b_n}，
∴b_n-b_n-1=3，
∴数列{b_n}是首项为1，公差3的等差数列．
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2，
∴{b_n}的通项公式为：b_n=3n-2．
（Ⅱ）结论为：a_n＞

3	bn+1

．以下证明．
证明：由（Ⅰ）知：b_n=3n-2．
∵a_n=（1+

1

bn

）a_n-1，（n≥2且n∈N^*），
∴a_n=（1+

1

3n-2

）a_n-1，
∴an=

3n-1

3n-2

an-1，
∴a2=

5

4

a1，
a3=

8

7

a2，
…
an=

3n-1

3n-2

an-1，
又∵a₁=2，
∴上述n个式子叠乘，得：
an=

2×5×8×11×…×(3n-1)

4×7×10×…×(3n-2)

．
要比较a_n与

3	bn+1

的大小，
只要比较an3与b_n+1的大小，
∵a_n＞0，b_n＞0，
∴只要比较

an3

bn+1

与1 的大小．
记f（n）=

[2×5×8×…×(3n-1)]3

[4×7×…×(3n-2)]3(3n+1)

，
∵f（1）=

(2×5)3

43×4

=

125

32

＞1，

f(n+1)

f(n)

=

(3n+2)3(3n+1)

(3n+1)3(3n+4)

=

n3+54n2+36n+4

n3+54n2+27n+4

＞1，
∴f（n）＞1，
则有：a_n＞

3	bn+1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列通项与前n项和的关系、不等式证明，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．