题目内容
去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正常活动．惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；
（2）根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi（i=1，2，3，…，n），则样本数据的平均值为
. |
| X |
（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,众数、中位数、平均数
专题：概率与统计
分析：（1）由题意，得（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，由此能求出a．
（2）求出50个样本中空气质量指数的平均值，由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值．（3）由题意知ξ～B(3，
)，ξ的取值为0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（2）求出50个样本中空气质量指数的平均值，由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值．（3）由题意知ξ～B(3，
| 1 |
| 5 |
解答：
（1）解：由题意，得（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，…（1分）
解得a=0.03．…（2分）
（2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6…（3分）
由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6．…（4分）
（3）解：利用样本估计总体，
该年度空气质量指数在（5，15]内为“特优等级”，
且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则ξ～B(3，
)．…（5分）
ξ的取值为0，1，2，3，…（6分）
P(ξ=0)=
(
)3=
，
P(ξ=1)=
(
)×(
)2=
，
P(ξ=2)=
(
)2×(
)=
，
P(ξ=3)=
(
)3=
．…（10分）
∴ξ的分布列为：…（11分）
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．…（12分）
（或者Eξ=3×
=
）．
解得a=0.03．…（2分）
（2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为
. |
| X |
由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6．…（4分）
（3）解：利用样本估计总体，
该年度空气质量指数在（5，15]内为“特优等级”，
且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则ξ～B(3，
| 1 |
| 5 |
ξ的取值为0，1，2，3，…（6分）
P(ξ=0)=
| C | 0 3 |
| 4 |
| 5 |
| 64 |
| 125 |
P(ξ=1)=
| C | 1 3 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 48 |
| 125 |
P(ξ=2)=
| C | 2 3 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 125 |
P(ξ=3)=
| C | 3 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 125 |
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||
| P |
|
|
| a |
∴Eξ=0×
| 64 |
| 125 |
| 48 |
| 125 |
| 12 |
| 125 |
| 1 |
| 125 |
| 3 |
| 5 |
（或者Eξ=3×
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查实数值的求法，考查平均值的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
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