Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过点（0，0），其导函数f′（x）=2x-5，当x∈（n+2，n+3]（n∈N^*）时，函数f（x）值域中整数值的个数记为a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=(

2

)an+

4

a2n-1a2n+1

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx，由其导函数f′（x）=2x-5，得f（x）=x²-5x，由此能求出a_n=f（n+3）-f（n+2）=2n．
（Ⅱ）bn=(

2

)an+

4

a2n-1a2n+1

(n∈N*)=2n+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用公组求和法和裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx，
由其导函数f′（x）=2ax+b=2x-5，得a=1，b=-5，
∴f（x）=x²-5x，
当x∈（n+2，n+3），n∈n^*时，
a_n=f（n+3）-f（n+2）=2n．
（Ⅱ）bn=(

2

)an+

4

a2n-1a2n+1

(n∈N*)
=2n+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ+

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

2(1-2n)

1-2

+

1

2

(1-

1

2n+1

)
=2n+1-

3n+2

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．