Question

关于x的不等式|x+1|-|x-3|≤a-

5

a

的解集不为空集，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：令f（x）=|x+1|-|x-3|，通过对x的范围的讨论，去掉绝对值符号，继而求得f（x）=|x+1|-|x-3|的值域为[-4，4]，依题意，解不等式a-

5

a

≥-4即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：令f（x）=|x+1|-|x-3|，
则当x≤-1时，f（x=-1-x-（3-x）=-4；
当-1＜x＜3时，f（x=x+1-（3-x）=2x-2∈（-4，4）；
当x≥3时，（x=x+1-（x-3）=4，
∴f（x）=|x+1|-|x-3|的值域为[-4，4]，
∵|x+1|-|x-3|≤a-

5

a

的解集不为空集，
∴a-

5

a

≥-4，
整理得：

a2+4a-5

a

≥0，
∴

(a+5)(a-1)≥0 a＞0

①或

(a+5)(a-1)≤0 a＜0

②，
解①得：a≥1；
解②得-5≤a＜0；
∴实数a的取值范围是[1，+∞）∪[-5，0）．
故答案为：[1，+∞）∪[-5，0）．

点评：本题考查绝对值不等式与高层不等式的解法，求得f（x）=|x+1|-|x-3|的值域为[-4，4]是关键，考查转化思想与方程思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．