Question

已知函数f（x）=log_a（2^x-1）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）函数的定义域；
（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，2^x-1＞0，从而解出f（x）的定义域；
（2）讨论a与1的大小关系，利用函数的单调性分别求使f（x）＞0成立的x的取值范围．

解答： 解：（1）∵2^x-1＞0，
∴2^x＞1=2⁰，
∵f（x）=2^x在R上是增函数，
∴f（x）的定义域为{x|x＞0}．
（2）∵f（x）＞0，
①当a＞1时，f(x)=loga(2x-1)在R上是增函数，
且f(x)=loga(2x-1)＞loga1，
∴2^x-1＞1，
∴x的取值范围为（1，+∞），
②当0＜a＜1时，
同上，x的取值范围为（0，1），
综上述：当a＞1时，x的取值范围为（1，+∞）；
当0＜a＜1时，x的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查了对数函数与指数函数的性质，重点考查了对数函数的定义域与单调性及指数函数的单调性应用，属于基础题．