Question

已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f'（x）•g（x）＞f（x）•g'（x），f（x）=a^x•g（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．令an=

f(n)

g(n)

，则使数列{a_n}的前n项和S_n超过100的最小自然数n的值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,导数的运算

专题：计算题

分析：分别令x等于1和x等于-1代入f（x）=a^x•g（x）得到两个关系式，把两个关系式代入

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，注意f'（x）•g（x）＞f（x）•g'（x），可知

f(x)

g(x)

为增函数，判断a＞1，将f（x）与g（x）代入a_n，求出a_n的前n项和S_n，令S_n＞100，求出n的最小值；

解答： 解：：令x=1，由f（x）=a^x•g（x）得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=

g(-1)

a

，
分别代入

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，a+

1

a

=

5

2

，化简得2a²-5a+2=0，即（2a-1）（a-2）=0，
解得a=2或a=-

1

2

；
∵f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x），可得

f(x)

g(x)

为增函数，

f(x)

g(x)

=a^x，a＞1，
∴a=2，
∴

f(n)

g(n)

=2ⁿ，
∴数列{a_n}的前n项和S_n，
S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
∴2ⁿ⁺¹-2＞100，
解得n＞5，所以n的最下值为n=6，
故答案为6；

点评：此题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，以及等比数列的性质及其应用，此题是一道中档题；