Question

4．对于函数f（x）=|sin2x|有下列命题：①函数f（x）的最小正周期是$\frac{π}{2}$；②函数f（x）图象关于点（π，0）对称；③函数f（x）图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称；④函数f（x）在[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]上为减函数，其中正确命题的序号是①③．

Answer 1

分析 ①由f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x）判断函数f（x）的最小正周期是$\frac{π}{2}$；
②由f（x）=|sin2x|≥0判断f（x）不是关于点（π，0）对称；
③由f（$\frac{π}{4}$）为函数的最大值，判断f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称；
④由f（$\frac{π}{2}$）＜f（$\frac{3π}{4}$）判断f（x）不满足单调递减．

解答 解：函数f（x）=|sin2x|，
对于①，f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin2（x+$\frac{π}{2}$）|=|sin（2x+π）|=|sin2x|=f（x），
∴函数f（x）的最小正周期是$\frac{π}{2}$，①正确；
对于②，f（π）=|sin2π|=0，且f（x）=|sin2x|≥0，
但f（x）不是关于点（π，0）对称，②错误；
对于③，f（$\frac{π}{4}$）=|sin（2×$\frac{π}{4}$）|=|sin$\frac{π}{2}$|=1为函数的最大值，
∴函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，③正确；
对于④，f（$\frac{π}{2}$）=|sin（2×$\frac{π}{2}$）|=|sinπ|=0，
f（$\frac{3π}{4}$）=|sin（2×$\frac{3π}{4}$）|=|sin$\frac{3π}{2}$|=1，
∴f（$\frac{π}{2}$）＜f（$\frac{3π}{4}$），不满足单调递减，∴④错误．
综上，正确的命题是①③．
故答案为：①③．

点评 本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键．