Question

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$2{cos^2}\frac{C}{2}+cos2（{A+B}）-1=0$
（1）求C；
（2）若c=2，ab=4，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）推导出$2co{s}^{2}\frac{C}{2}+cos2C-1=0$，从而$co{s}^{2}\frac{C}{2}-4si{n}^{2}\frac{C}{2}co{s}^{2}\frac{C}{2}$=0，进而sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出C．
（2）由余弦定理得a²+b²-ab=4，再由ab=4，得到a=b=2，由此能求出△ABC的周长．

解答 解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且$2{cos^2}\frac{C}{2}+cos2（{A+B}）-1=0$，
∴$2co{s}^{2}\frac{C}{2}+cos2C-1=0$，
∴$2co{s}^{2}\frac{C}{2}+1-2si{n}^{2}C-1=0$，
∴$co{s}^{2}\frac{C}{2}-4si{n}^{2}\frac{C}{2}co{s}^{2}\frac{C}{2}$=0，
∵0＜C＜π，∴0＜$\frac{C}{2}＜\frac{π}{2}$，cos$\frac{C}{2}$≠0，sin$\frac{C}{2}$＞0，
∴sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c²=a²+b²-2abcosC，
∴a²+b²-ab=4，又ab=4，
∴a=b=2，∴△ABC是等边三角形，
故△ABC的周长为a+b+c=6．

点评 本题考查三角形中角的求法，考查三角形的周长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角函数二倍角公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．