Question

16．函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1有极值的充要条件是a＜0或a＞1．

Answer 1

分析 通过f（x）有零点可知f′（x）=ax²+2ax+1=0有解，分a=0、a≠0两种情况讨论即可．

解答 解：因为f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1，x∈R，
所以f′（x）=ax²+2ax+1，
因为f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1有极值，
所以f′（x）=0有解，即ax²+2ax+1=0有解．
（1）当a=0时，显然不满足题意；
（2）当a≠0时，要使一元二次方程ax²+2ax+1=0有解，
只需△=4a²-4a≥0，即a≤0或a≥1．
又因为当a=0或a=1时f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1没有极值，
所以函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1有极值的充要条件是a＜0或a＞1，
故答案为：a＜0或a＞1．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查极值点与导数为零的点之间的关系，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．