Question

4．若等式$\sqrt{3}$sinα+cosα=$\frac{3m+1}{4}$能够成立，则m的取值范围是[-3，$\frac{7}{3}$]．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简$\sqrt{3}$sinα+cosα，根据正弦函数的有界性得出关于m的不等式组，求出解集即可．

解答 解：$\sqrt{3}$sinα+cosα=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα）
=2sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3m+1}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3m+1}{8}$，
由题意，-1≤$\frac{3m+1}{8}$≤1，
∴-8≤3m+1≤8，
∴-9≤3m≤7，
解得-3≤m≤$\frac{7}{3}$，
∴m的取值范围是[-3，$\frac{7}{3}$]．
故答案为：[-3，$\frac{7}{3}$]．

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦函数的有界性和不等式的解法问题，是基础题．