Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2aln x+（a-2）x，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）令g（x）=f（x）-ax=$\frac{1}{2}$x²-2alnx-2x，根据函数的单调性得到2a≤x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2aln x+（a-2）x，定义域是（0，+∞），
所以f′（x）=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，（x＞0），
当a=1时，f′（x）=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，所以f′（1）=-2，
则所求切线方程为y-f（1）=-2（x-1），即4x+2y-3=0；
（2）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0＜x₁＜x₂，
由$\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞a，知f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，
令g（x）=f（x）-ax=$\frac{1}{2}$x²-2alnx-2x，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则g′（x）=x-$\frac{2a}{x}$-2≥0，即2a≤x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上恒成立，
则a≤-$\frac{1}{2}$，故存在这样的实数a满足题意，
其取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．