Question

19．已知M（1+cos2x，1），N（1，$\sqrt{3}$sin2x+a）（x∈R，a∈R，a是常数），且y=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$（O为坐标原点），点P是直线y=2x上一个动点．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）若x=$\frac{π}{2}$，a=3，求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值，并求此时$\overrightarrow{OP}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积公式得到y，然后化简三角函数式即可；
（2）利用（1）是结论，求出复合角的范围，利用正弦函数的性质求a；
（3）用t表示$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，利用二次函数求最值．

解答 解：（1）$y=\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x+a$，
∴$f（x）=cos2x+\sqrt{3}sin2x+1+a$；
（2）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1+a$，
因为$0≤x≤\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$时f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，a=1；                
（3）由条件，M（0，1），N（1，3），
因点P是直线y=2x上 设P（t，2t），
则$\overrightarrow{PM}=（{-t，1-2t}），\overrightarrow{PN}=（1-t，3-2t）$，
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=（{-t，1-2t}）•（1-t，3-2t）=5{t^2}-9t+3$，
当$t=\frac{9}{10}$时，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$有最小值，
此时$\overrightarrow{OP}=（\frac{9}{10}，\frac{9}{5}）$．

点评 本题考查了平面向量数量积公式的应用以及三角函数的化简求值；熟练正弦函数的性质是解答的关键．