Question

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4

5

，设M是PC上的一点．
（1）求V_P-ABCD；
（2）求PB与平面ABCD所成的角；
（3）求证：平面MBD⊥平面PAD．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先对面面垂直转化出线面垂直进一步求出锥体的高，及锥体的底面积，进一步求出锥体的体积．
（2）利用（1）的线面垂直，首先确定线面的夹角进一步利用所给的条件求出夹角的大小．
（3）直接根据线面垂直的判定，进一步转化出面面垂直．

解答： 解：（1）在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，
连接BD，过P点做PE⊥AD，
所以：PE⊥平面ABCD．
△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，
所以：AD=4，
进一步求得：PE=2

3

，
在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC=4

5

，AD=4
所以：AD²+BD²=AB²
则：△ABD是直角三角形．
设△ABD的高为h，利用面积相等，
AD•BD=AB•h
解得：h=

8 5

5

所以：VP-ABCD=

1

3

S梯形ABCD•PE
=16

3

（2）由（1）得：PE⊥平面ABCD
所以：PB与平面ABCD所成的角
即∠PBE就是所求．
在△BDE中，连接BE，BE=

AD2+BD2

解得：BE=2

17

所以：tan∠PBE=

PE

BE

=

51

17

所以PB与平面ABCD所成的角为：arctan

51

17

证明：（3）已求得AD²+BD²=AB²
所以：AD⊥BD
PE⊥平面ABCD
BD?平面ABCD
所以：PE⊥BD
则：BD⊥平面PAD．
由于BD?平面MBD
所以：平面MBD⊥平面PAD

点评：本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直之间的转化，棱锥的体积的运算，线面夹角的应用，勾股定理逆定理及相关的运算问题．属于基础题型．