Question

设各项均为正数的无穷数列{a_n}，{b_n}满足：对任意n∈N^*都有2b_n=a_n+a_n+1且a_n+1²=b_n•b_n+1，
（1）求证：数列{

bn

}是等差数列；
（2）设a₁=1，a₂=3，b₁=2，求{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得到b_nb_n-1+b_nb_n+1+2

bn-1•bn•bn•bn+1

=4b_n•b_n，由此能证明数列{

bn

}是等差数列．
（2）由已知条件推导出

bn

=

2

2

(n+1)，由此能求出{a_n}和{b_n}的通项公式．

解答： （1）证明：a_n+a_n+1=2b_n，①
b_nb_n+1=a_n+1²，②
②式两边开方得：a_n+1=

bnbn+1

=

bn

•

bn+1

，③
①式两边平方，展开，然后将③代入，得：
b_nb_n-1+b_nb_n+1+2

bn-1•bn•bn•bn+1

=4b_n•b_n，④
整理，得

bn-1

+

bn+1

=2

bn

，
∴数列{

bn

}是等差数列．
（2）∵a₁=1，a₂=3，b₁=2，且a_n+1²=b_n•b_n+1，
∴b₂=

a22

b1

=

9

2

，

b2

-

b1

=

9 2

-

2

=

2

2

，
∴

bn

=

2

+（n-1）×

2

2

=

2

2

(n+1)，
∴b_n=

1

2

(n+1)2，
∵a_n+1²=b_n•b_n+1，
∴a_n=

bn-1•bn

=

1 2 n2• 1 2 (n+1)2

=

1

2

n(n+1)．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．