Question

解关于x的不等式：
（1）ax²+2x+1＞0（a＞0）；
（2）

a-1

x-1

≥a．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）对于不等式ax²+2x+1＞0，判别式△=4-4a，分△＞0、△=0、△＜0三种情况，分别求得不等式的解集．
（2）不等式即

ax+1-2a

x-1

≤0，分①当a=0时、②当a＞0时、当a＜0时三种情况，分别利用对应的二次函数的性质，求得原不等式的解集．

解答： 解：（1）对于不等式ax²+2x+1＞0，判别式△=4-4a，
∴当0＜a＜1时，△＞0，求得ax²+2x+1=0的根为

-2± 4-4a

2a

=

-1± 1-a

a

，
故原不等式的解集为（-∞，

-1- 1-a

a

）∪（

-1+ 1-a

a

，+∞）．
当a=1时，△=0，原不等式的解集为{x|x≠-1}．
当a＞1时，△＜0，原不等式的解集为R．
（2）由

a-1

x-1

≥a 可得

ax+1-2a

x-1

≤0，
①当a=0时，不等式即

1

x-1

≤0，求得解集为{x|x＜1}．
②当a＞0时，不等式即

a(x- 2a-1 a )

x-1

≤0，
若2-

1

a

＜1，即0＜a＜1时，不等式的解集为[2-

1

a

，1）．
若2-

1

a

=1，即a=1时，不等式的解集为∅．
若2-

1

a

＞1，即a＞1时，不等式的解集为（1，2-

1

a

]．
当a＜0时，不等式即

a(x- 2a-1 a )

x-1

≤0，

(x- 2a-1 a )

x-1

≥0，∵2-

1

a

＞2，
原不等式的解集为{x|x＜1，或 x≥2-

1

a

}．

点评：本题主要考查分式不等式的激发，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．