Question

在三角形ABC中，sin²A+sin²C=2sin²B．
（1）求角B的取值范围；
（2）若sinA=cosC，求A．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由sin²A+sin²C=2sin²B，利用基本不等式，结合余弦定理，即可求角B的取值范围；
（2）由sinA=cosC，可求B，进而求A．

解答： 解：（1）∵sin²A+sin²C=2sin²B，
∴a²+c²=2b²≥2ac
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

b2

2ac

≥

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴0＜B≤

π

3

；
（2）∵sinA=cosC，sin²A+sin²C=2sin²B，
∴cos²C+sin²C=2sin²B，
∴sinB=

2

2

，
∴B=

π

4

，
∴sinA=cos（

3

4

π-A），
∴sinA=-

2

2

cosA+

2

2

sinA，
∴

2 -2

2

sinA=

2

2

cosA，
∴tanA=

2

2 -2

=-1-

2

，
∴A=π-arctan（1+

2

）．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．