题目内容
若ax2+x+1＜0，求x的取值范围．
考点：一元二次不等式的解法
专题：不等式的解法及应用
分析：对a分类，a=0时直接求解一次不等式得答案；
当a≠0时，利用二次不等式对应方程ax2+x+1=0根的情况及对应二次函数图象的开口方向得到不等式ax2+x+1＜0的解集．
当a≠0时，利用二次不等式对应方程ax2+x+1=0根的情况及对应二次函数图象的开口方向得到不等式ax2+x+1＜0的解集．
解答：
解：当a=0时，不等式ax2+x+1＜0化为x+1＜0，解得：x＜-1；
当a＞0时，若a≥
，则1-4a≤0，不等式ax2+x+1＜0的解集为∅；
若0＜a＜
，解ax2+x+1=0得：x=
，
∴不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|
＜x＜
}；
当a＜0时，1-4a＞0，解ax2+x+1=0得：x=
，
∴不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|x＜
或x＞
}．
综上，当a＜0时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|x＜
或x＞
}；
当a=0时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|x＜-1}；
当0＜a＜
时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|
＜x＜
}；
当a≥
时，不等式ax2+x+1＜0的解集为∅．
当a＞0时，若a≥
| 1 |
| 4 |
若0＜a＜
| 1 |
| 4 |
-1±
| ||
| 2a |
∴不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|
-1-
| ||
| 2a |
-1+
| ||
| 2a |
当a＜0时，1-4a＞0，解ax2+x+1=0得：x=
-1±
| ||
| 2a |
∴不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|x＜
-1+
| ||
| 2a |
-1-
| ||
| 2a |
综上，当a＜0时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|x＜
-1+
| ||
| 2a |
-1-
| ||
| 2a |
当a=0时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|x＜-1}；
当0＜a＜
| 1 |
| 4 |
-1-
| ||
| 2a |
-1+
| ||
| 2a |
当a≥
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查了分类讨论的数学思想方法，考查了一元一次不等式和一元二次不等式的解法，训练了利用“三个二次”的结合求解二次不等式，是中档题．
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