题目内容
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=
accosB．
（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a=2，且
≤A≤
，求边c的取值范围．
| ||
| 2 |
（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a=2，且
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小．
（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．
（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．
解答：
解：由已知及三角形面积公式得S=
acsinB=
accosB，
化简得sinB=
cosB，
即tanB=
，又0＜B＜π，∴B=
．
（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，
又∵A+B=
，
∴sin（
-A）=2sinA，
化简可得tanA=
，而0＜A＜
，
∴A=
，C=
．
解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a2=3a2，
∴b=
a，
∴a：b：c=1：
：2，知A=
，C=
．
（2）由正弦定理得
=
=
，
即c=
=
，
由C=
-A，得c=
=
=
=
+1
又由
≤A≤
，
知1≤tanA≤
，
故c∈[2，
+1]．
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
化简得sinB=
| 3 |
即tanB=
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，
又∵A+B=
| 2π |
| 3 |
∴sin（
| 2π |
| 3 |
化简可得tanA=
| ||
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴A=
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a2=3a2，
∴b=
| 3 |
∴a：b：c=1：
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）由正弦定理得
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
即c=
| asinC |
| sinA |
| 2sinC |
| sinA |
由C=
| 2π |
| 3 |
2sin(
| ||
| sinA |
2×(
| ||||||
| sinA |
| ||
| sinA |
| ||
| tanA |
又由
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
知1≤tanA≤
| 3 |
故c∈[2，
| 3 |
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理．
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