Question

如图：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D为AB中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求二面角D-CA₁-A的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AC₁交A₁C于O点，连接DO，则O为AC₁的中点，由D为AB中点，知DO∥BC₁，由此能够证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）以CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角D-CA₁-A的正切值．

解答： （1）证明：连接AC₁交A₁C于O点，连接DO，则O为AC₁的中点，
∵D为AB中点，∴DO∥BC₁，
又∵DO?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：以CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D为AB中点．
∴

AB1

=（-2，2，2），
设二面角D-CA₁-A的大小为θ，则
∵平面ACA₁的法向量是

n

=（0，1，0）
∴cosθ=

(-2，2，2)•(0，1，0)

2 3 •1

=

3

3

，∴tanθ=

2

，
∴二面角D-CA₁-A的正切值是

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角D-CA₁-A的正切值，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．