Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ABC=90°，AB=BC=4，BB₁=3，M、N分别是B₁C₁和AC的中点．
（1）求三棱锥B₁-ABC₁的体积；
（2）求MN与底面ABC所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用等体积，计算三棱锥B₁-ABC₁的体积；
（2）取BC的中点P，连接MP、NP，根据三角形中位线定理，得MP∥BB₁，则MP⊥平面ABC，解三角形MNP即可得到MN的长，确定MN与底面所成的角为∠MNP，解三角形MNP即可得到MN与底面ABC所成的角．

解答： 解：（1）VB1-ABC1=VC1-ABC=

1

3

•

1

2

•4•4•3=8．
（2）取BC的中点P，连接MP、NP，则MP∥BB₁，

∴MP⊥平面ABC，又NP?平面ABC，
∴MP⊥NP，MN与底面所成的角为∠MNP
∵PN=2，MP=3，
∴MN=

4+9

=

13

．
∵NP=2，
∴tan∠MNP=

3

2

，
∴∠MNP=arctan

3

2

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，根据线面夹角的定义，求出线面夹角是解答本题的关键．