Question

已知函数f（x）=

lnx

a2

-x．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x）=

1

a2x

-1，据题意k=f′（1）=0，解得a值，再在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）转化为f（x）的最大值小于等于-1，构造函数可判断a的取值范围；

解答： 解：（1）∵f′（x）=

1

a2x

-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=-1，
依题意

1

a2

-1=0，解得a=±1
当a=±1时，
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=

1

x

-1，
令f′（x）=

1

x

-1=0，得x=1
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x） 单调递减；
所以函数f（x）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；      
（2）由f′（x）=

1

a2x

-1，令f′（x）=0，得x=

1

a2

．
当0＜x＜

1

a2

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞

1

a2

时，f′（x）＜0，函数f（x） 单调递减；
所以f（x）在x=

1

a2

处取得最大值

ln 1 a2

a2

-

1

a2

，
故对?x∈R⁺，f（x）≤-1恒成立，当且仅当对?a∈R⁺，

ln 1 a2

a2

-

1

a2

≤-1恒成立．
令

1

a2

=t，g（t）=tlnt-t，t＞0．则g′（t）=lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；当t＞1时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增；
所以g（t）在t=1处取得最小值-1，
因此，当且仅当

1

a2

=1，即a=±1，

ln 1 a2

a2

-

1

a2

≤-1恒成立．
故a的取值集合为{-1，1}

点评：本题考查利用导数研究函数单调性、曲线上某点切线方程，考查函数的最值求解，考查分类讨论思想，考查函数恒成立问题的解决，转化函数最值是解决恒成立问题的常用方法．