Question

已知二次函数y=f（x）的图象顶点为A（-1，2），且图象经过原点，
（1）求函数y=f（x）的解析式
（2）求函数y=f（2^x）的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）设出二次函数的顶点式，利用已知顶点和定点，求出待定系数，得到本题结论；（2）通过换元，将函数y=f（2^x）转化为二次函数在区间上的值域，研究二次函数值域，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵二次函数y=f（x）的图象顶点为A（-1，2），
∴设f（x）=a（x+1）²+2，
∵二次函数y=f（x）的图象经过原点，
∴a+2=0，a=-2．
∴f（x）=-2x²-4x．
（2）函数y=f（2^x）=-2•（2^x）²-4•2^x，
令2^x=t，
则g（t）=-2t²-4t，（t＞0），
∵g（t）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（t）＜g（0）=0，
∴函数y=f（2^x）的值域为（-∞，0）．

点评：本题考查了二次函数的解析式和二次函数在区间上的值域，本题难度不大，属于基础题．