Question

【题目】（题文）如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为．圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为，已知圆柱底面的造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元．

（1）将圆柱的高表示为底面半径的函数，并求出定义域；

（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径为多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意，根据圆锥的体积公式和圆柱的体积公式，即可得到关于的函数关系式；

（2）根据圆锥与圆柱的侧面积公式得到容器总造价为，令，利用导数求得函数的单调性，即可得到函数最小值，得到解答.

（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，

圆锥的体积为，圆柱的体积为．

因为，所以，

所以．

因为，所以．因此．

所以，定义域为．

（2）圆锥的侧面积，

圆柱的侧面积，底面积．

容器总造价为

．

令，则．令，得．

当时，，在上为单调减函数；

当时，，在上为单调增函数．

因此，当且仅当时，有最小值，y有最小值90元．

所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．