题目内容
【题目】1,4,9,16……这些数可以用图1中的点阵表示,古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数,记第个数为
.在图2的杨辉三角中,第
行是
展开式的二项式系数
,
,…,
,记杨辉三角的前
行所有数之和为
.
(1)求和
的通项公式;
(2)当时,比较
与
的大小,并加以证明.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)
,证明见解析
【解析】
(Ⅰ)由正方形数的特点知,由二项式定理的性质,求出杨辉三角形第
行
个数的和,由此能求出
和
的通项公式;
(Ⅱ)由时,
,
时,
,证明:
时,
时,可以逐个验证;证明
时,
时,可以用数学归纳法证明.
(Ⅰ)由正方形数的特点可知;
由二项式定理的性质,杨辉三角第行
个数的和为
,
所以.
(Ⅱ),
,所以
;
,
,所以
;
,
,所以
;
,
,所以
;
,
所以
;
猜想:当时,
;当
时,
.
证明如下:
证法1:
当时,已证.
下面用数学归纳法证明:当时,
.
①当时,已证:
②假设时,猜想成立,即
,所以
;
那么,,
所以,当时,猜想也成立.
根据①②,可知当时,
.
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