Question

1．在三棱锥P-ABC中，PA=4，∠PBA=∠PCA=90°，△ABC是边长为2的等边三角形，则三棱锥P-ABC的外接球球心到平面ABC的距离是（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{33}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{33}}}{3}$

Answer 1

分析 由圆周角定理及球的性质可判断PA为球的直径，利用余弦定理求出PA与平面ABC所成角的大小，即可得出球心到平面ABC的距离．

解答 解：∵∠PBA=∠PCA=90°，
∴PA为平面PAB所在圆的截面的直径，
同理PA也是PBC所在圆的截面的直径，
∴PA的中点为外接球的球心，
由勾股定理得PB=PC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
取BC的中点D，连接AD，
则∠PAD为PA与平面ABC所成的角，
经计算得AD=$\sqrt{3}$，PD=$\sqrt{11}$，
∴cos∠PAD=$\frac{16+3-11}{2×4×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠PAD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴球心O到平面ABC的距离d=$\frac{1}{2}$PAsin∠PAD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选A．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，属于中档题．