Question

已知函数f（x）=

x+ 1 2 ， 0≤x≤ 1 2 2(1-x)， 1 2 ＜x≤1

，定义f_n（x）=

f(f(f(…f(x)…)))

n个f

，集合A={x|f₁₀（x）=x，x∈[0，1]}，集合B={

2

15

，

2

3

，0，

1

2

，1}，则
（1）A∩B=

 

；
（2）集合A中元素的个数为

 

．

Answer 1

考点：交集及其运算,元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（1）利用函数f（x）=

x+ 1 2 ， 0≤x≤ 1 2 2(1-x)， 1 2 ＜x≤1

，定义f_n（x）=

f(f(f(…f(x)…)))

n个f

，将B中元素逐一代入判断f₁₀（x）=x是否满足，可得答案；
（2）根据函数f（x）=

x+ 1 2 ， 0≤x≤ 1 2 2(1-x)， 1 2 ＜x≤1

，定义f_n（x）=

f(f(f(…f(x)…)))

n个f

，f₁₀（x）=x，分别满足条件的x个数，可得答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x+ 1 2 ， 0≤x≤ 1 2 2(1-x)， 1 2 ＜x≤1

，
∴f₁₀（

2

15

）=f₉（

19

30

）=f₈（

22

30

）=f₇（

16

30

）=f₆（

28

30

）=f₅（

4

30

）=f₄（

19

30

）=f₃（

22

30

）=f₂（

16

30

）=f（

28

30

）=

4

30

=

2

15

，故

2

15

∈A；
f₁₀（

2

3

）=f₉（

2

3

）=f₈（

2

3

）=f₇（

2

3

）=f₆（

2

3

）=f₅（

2

3

）=f₄（

2

3

）=f₃（

2

3

）=f₂（

2

3

）=f（

2

3

）=

2

3

，故

2

3

∈A，
f₁₀（0）=f₉（

1

2

）=f₈（1）=f₇（0）=f₆（

1

2

）=f₅（1）=f₄（0）=f₃（

1

2

）=f₂（1）=f（0）=

1

2

，故0∉A
f₁₀（

1

2

）=f₉（1）=f₈（0）=f₇（

1

2

）=f₆（1）=f₅（0）=f₄（

1

2

）=f₃（1）=f₂（0）=f（

1

2

）=1，故

1

2

∉A
f₁₀（1）=f₉（0）=f₈（

1

2

）=f₇（1）=f₆（0）=f₅（

1

2

）=f₄（1）=f₃（0）=f₂（

1

2

）=f（1）=0，故1∉A，
故A∩B={

2

15

，

2

3

}，
（2）若f₁₀（x）=x，
则f₉（x）=

2

3

，共1根，
则f₈（x）=

2

3

，或f₈（x）=

1

6

，共2根，
则f₇（x）=

2

3

，或f₇（x）=

1

6

，或f₇（x）=

11

12

，共3根，
则f₆（x）=

2

3

，或f₆（x）=

1

6

，或f₆（x）=

11

12

，或f₆（x）=

5

12

，或f₆（x）=

13

24

，共5根，
则f₅（x）=

2

3

，或f₅（x）=

1

6

，或f₅（x）=

11

12

，或f₅（x）=

5

12

，或f₅（x）=

13

24

，或f₅（x）=

19

24

，或f₅（x）=

1

24

，或f₅（x）=

35

48

，共8根，
则f₄（x）=

2

3

，或f₄（x）=

1

6

，或f₄（x）=

11

12

，或f₄（x）=

5

12

，或f₄（x）=

13

24

，或f₄（x）=

19

24

，或f₄（x）=

1

24

，或f₄（x）=

35

48

，或f₄（x）=

5

24

，或f₄（x）=

29

48

，或f₄（x）=

1

48

，或f₄（x）=

11

48

，或f₄（x）=

61

96

，共13根，
则f₃（x）=

2

3

，或…共21根，
则f₂（x）=

2

3

，或…共34根，
则f（x）=

2

3

，或…共55根，
则x=

2

3

，或…共89根，
故集合A中元素的个数为89个，
故答案为：{

2

15

，

2

3

}，89

点评：本题考查的知识点是交集及其运算，元素与集合关系的判断，其中（2）在列举的时候难度较大．