Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，且过点（0，

3

），设点A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于P，Q两点．
（1）设直线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，问k₁k₂是否为定值？并证明你的结论；
（2）记△APQ的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据离心率和上顶点，求解椭圆的标准方程，然后，联立方程组，求解点P，Q的坐标，然后，表示出直线PQ的方程，然后，将点F的坐标代人即可；
（2）首先，设出直线PQ的方程，然后，联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离，构造面积表达式，然后，求解其最大值．

解答： 解：（1）∵e=

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，①
又过点（0，

3

），
∴b=

3

，②
联立①②得
a=2，c=1，
∴椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴A（-2，0），F（1，0），
∵直线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，
∴直线AP的方程为：y=k₁（x+2），
直线AQ的方程为y=k₂（x+2），
联立方程组

y=k1(x+2) 3x2+4y2=12

，
消去y并整理得
（3+4k12）x²+16k12x+16k12-12=0，
∴-2+x₁=

-16k12

3+4k12

，
∴x₁=

2-8k12

3+4k12

，代人直线方程，得
y₁=

4k1

1+4k12

，
∴P（

2-8k12

1+4k12

，

4k1

1+4k12

），
同理，得
Q（

2-8k22

1+4k22

，

4k2

1+4k22

），
∴直线PQ的方程为：

y- 4k1 1+4k12

4k2 1+4k22 - 4k1 1+4k12

=

x- 2-8k12 1+4k12

2-8k22 1+4k22 - 2-8k12 1+4k12

，
将点（1，0）坐标代人，并化简，得
k₁•k₂=-

1

12

（定值），
（2）当过点F的直线斜率不存在时，
此时P（1，

3

2

） Q（1，-

3

2

），
∴S=

1

2

×

3

×3=

3 3

2

，
当过点F的直线斜率存在时，设其斜率为k，则
方程为：y=k（x-1），
联立方程组

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，消去y并整理，得
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1•x2=

4k2-4

1+4k2

，
∴|PQ|=

(3+k2)

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

(3+k2)(1+3k2)

1+4k2

，
=

3+ 13+40k2 16k4+8k2+1

，
∵点A（-2，0）到直线的距离为：
d=

|-2k-0-k|

1+k2

=

3|k|

1+k2

∴S=

1

2

×|PQ|×d
=

3

2

3- 8k2 16k4+8k2+1

=

3

2

3- 8 16k2+ 1 k2 +8

≤

3

2

3- 8 2× 16k2• 1 k2 +8

=

3

2

×

5 2

=4.5，
∴S的最大值4.5．

点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于难题．