Question

14．已知正数a，b，c满足2a-b+c=0，则$\frac{ac}{{b}^{2}}$的最大值为（　　）

• A． 8
• B． 2
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 正数a，b，c满足2a-b+c=0，可得b=2a+c，于是$\frac{ac}{{b}^{2}}$=$\frac{ac}{（2a+c）^{2}}$=$\frac{ac}{4{a}^{2}+4ac+{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{4a}{c}+\frac{c}{a}+4}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵正数a，b，c满足2a-b+c=0，∴b=2a+c，
则$\frac{ac}{{b}^{2}}$=$\frac{ac}{（2a+c）^{2}}$=$\frac{ac}{4{a}^{2}+4ac+{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{4a}{c}+\frac{c}{a}+4}$
≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{4a}{c}•\frac{c}{a}}+4}$=$\frac{1}{8}$，当且仅当c=2a＞0时取等号．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．