Question

18．已知函数f（x）=log₃（9^x+1）-x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）设函数g（x）=log₃（a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$），若关于x的不等式f（x）≥g（x）对x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=log₃（9^x+1）-x为偶函数．运用奇偶性的定义，计算f（-x）与f（x）的关系，结合对数的运算性质，即可得到结论；
（2）由题意可得log₃（3^-x+3^x）≥log₃（a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$），即有3^-x+3^x≥a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$＞0，即为1+9^x≥a（3^x-1）+2•3^x-4，运用指数函数的单调性和换元法，以及参数分离，结合基本不等式和函数的单调性，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=log₃（9^x+1）-x为偶函数．
理由：定义域为R，f（x）=log₃（9^x+1）-log₃3^x=log₃$\frac{{9}^{x}+1}{{3}^{x}}$
=log₃（3^x+3^-x），
f（-x）=log₃（3^-x+3^x）=f（x），
则f（x）为偶函数；
（2）函数g（x）=log₃（a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$），
若关于x的不等式f（x）≥g（x）对x∈[-1，1]恒成立，
即为log₃（3^-x+3^x）≥log₃（a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$），
即有3^-x+3^x≥a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$＞0，
即为1+9^x≥a（3^x-1）+2•3^x-4＞0，
当x=0时，2≥-2，但-2＜0不恒成立；
当0＜x≤1，即有1＜3^x≤3，t=3^x-1（0＜t≤2），
可得1+（1+t）²≥at+2•（1+t）-4，
即为a≤t+$\frac{4}{t}$，由t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，当且仅当t=2取得等号．
即有a≤4，
又a（3^x-1）+2•3^x-4＞0，即为a＞$\frac{2t-2}{t}$，
而$\frac{2t-2}{t}$∈[1，2），即有a＞1，即为1＜a≤4；
当-1≤x＜0，即有$\frac{1}{3}$≤3^x＜1，t=3^x-1（-$\frac{2}{3}$≤t＜0），
即有a≥t+$\frac{4}{t}$，由t+$\frac{4}{t}$的导数为1-$\frac{4}{{t}^{2}}$＜0，[-$\frac{2}{3}$，0）为减区间，
可得a≥-$\frac{2}{3}$-6=-$\frac{20}{3}$，
又a＜$\frac{2t-2}{t}$，
而$\frac{2t-2}{t}$∈[5，+∞），即有a＜5，即为-$\frac{20}{3}$≤a＜5．
综上可得，a的取值范围是（1，4]．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和证明，注意运用定义法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数和分类讨论思想方法，考查基本不等式和函数的单调性的运用，属于中档题．