题目内容

8．若数列{an}满足$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列．
（1）已知数列{an}为调和数列．且满足a1=1，a2=$\frac{1}{2}$．求{an}的通项公式；
（2）若数列{（2n+1）bn}为调和数列，且b1=$\frac{1}{3}$，b2=$\frac{1}{15}$，求{bn}的前n项和Sn．

分析 （1）数列{an}为调和数列．故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，利用通项公式即可得出．
（2）数列{（2n+1）bn}为调和数列，故$\frac{1}{（2n+1）{b}_{n}}$-$\frac{1}{（2n-1）{b}_{n-1}}$=d（n≥2）．由b1=$\frac{1}{3}$，b2=$\frac{1}{15}$，可得：d=2，故$\{\frac{1}{（2n+1）{b}_{n}}\}$是以1为首项，2为公差的等差数列，可得bn，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）数列{an}为调和数列．故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，
又$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=2-1=1，
故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
故an=$\frac{1}{n}$．
（2）数列{（2n+1）bn}为调和数列，故$\frac{1}{（2n+1）{b}_{n}}$-$\frac{1}{（2n-1）{b}_{n-1}}$=d（n≥2）．
由b1=$\frac{1}{3}$，b2=$\frac{1}{15}$，可得：d=$\frac{1}{5×\frac{1}{15}}$-$\frac{1}{3×\frac{1}{3}}$=3-1=2，
故$\{\frac{1}{（2n+1）{b}_{n}}\}$是以1为首项，2为公差的等差数列，
故$\frac{1}{（2n+1）{b}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴bn=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴Sn=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、调和数列、数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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