Question

9．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）
（1）求抛物线的标准方程．
（2）如果直线y=x+m与这个抛物线交于不同的两点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程，将M代入抛物方程，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）将直线方程代入抛物线方程，由△＞0，即可求得m的取值范围．

解答 解：（1）因为抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），则抛物线的焦点在y的负半轴上，
∴可设它的标准方程为：x²=-2py（p＞0），
又因为点M在抛物线上，则3=-2p×（-2$\sqrt{3}$），解得：p=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴椭圆的标准方程：x²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y；
（2）将直线方程代入抛物线方程：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}y}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，整理得2x²+$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$m=0，
则△=b²-4ac=3-8$\sqrt{3}$m＞0，解得：m＜$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
m的取值范围（-∞，$\frac{\sqrt{3}}{8}$）．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线与抛物线的交点问题，考查计算能力，属于中档题．