Question

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin²$\frac{B-C}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 求出$B+C=\frac{π}{3}$，即可求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，利用余弦定理及三角形的面积公式，求b+c的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\frac{1-cos（B-C）}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$，（2分）
化简得$\frac{1-cosBcosC-sinBsinC}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$，
整理得$cosBcosC-sinBsinC=\frac{1}{2}$，即$cos（B+C）=\frac{1}{2}$，（4分）
由于0＜B+C＜π，则$B+C=\frac{π}{3}$，所以$A=\frac{2π}{3}$．（6分）
（Ⅱ）因为${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bc×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以bc=2．（8分）
根据余弦定理得${（\sqrt{7}）^2}={b^2}+{c^2}-2bc•cos\frac{2π}{3}={b^2}+{c^2}+bc={（b+c）^2}-bc$，（10分）
即7=（b+c）²-2，所以b+c=3．（12分）

点评 本题考查三角函数知识的运用，考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．