Question

已知函数f（x）=lnx+

1-x

a(1+x)

，其中a为不为零的常数．
（Ⅰ）若f（x）在点（1，0）处的切线过点（2，-1），求实数a的值；
（Ⅱ）当a=1时，若存在x₁，x₂∈[1，e²]使得f（x₁）-f（x₂）≥M成立，求满足条件的最大整数M；
（Ⅲ）若f（x）无极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求实数a的值；
（Ⅱ）求出函数的单调性，求出在[1，e²]使得[f（x₁）-f（x₂）]的最大值即可求满足条件的最大整数M；
（Ⅲ）根据函数极值和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）函数的导数为f′（x）=

1

x

-

2

a(1+x)2

，
则f′（1）=1-

1

2a

，f（1）=0，
则f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=（1-

1

2a

）（x-1），
∵切线过点（2，-1），
∴1-

1

2a

=-1，解得a=

1

4

；
（Ⅱ）当a=1时，则f（x）=lnx+

1-x

1+x

=lnx+

2-(1+x)

1+x

=lnx+

2

1+x

-2，
函数的f（x）的导数f′（x）=

1

x

-

2

(1+x)2

=

(1+x)2-2x

x(1+x)2

=

1+x2

x(1+x)2

，
当x∈[1，e²]时，f′（x）＞0，即函数f（x）在[1，e²]为增函数，
若存在x₁，x₂∈[1，e²]使得f（x₁）-f（x₂）≥M成立，
则[f（x₁）-f（x₂）]_max=f（e²）-f（1）=（2+

2

1+e2

-2）-0=

2

1+e2

，
则M≤

2

1+e2

，即满足条件的最大整数M=

2

1+e2

；
（Ⅲ）函数的定义域为（0，+∞），
函数的f′（x）=

1

x

-

2

a(1+x)2

=

a(1+x)2-2x

ax(1+x)2

=

ax2+(2a-2)x+a

ax(1+x)2

，
设g（x）=ax²+（2a-2）x+a，
①当判别式△=（2a-2）²-4a²=8a-4≤0，即a≤

1

2

且a≠0时，函数为单调函数，满足条件．
②若a＞0，

△=8a-4＞0 - 2a-2 2a ＜0

，即

a＞0 a＞ 1 2 a＞1

，解得a＞1时，方程g（x）=0有两个不相等的负实根，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时无极值点．
综上a＞1或a≤

1

2

且a≠0．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、一元二次方程实数解与判别式的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．