Question

已知函数f（x）=

2x-a2

a•2x

，x∈R，其中a≠0．
（1）证明：当a＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（2）设函数h（x）=f（x）-2^x，若函数h（x）只有一个零点，求实数a的取值范围，并求出零点（可用a表示）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）化简函数f（x）=

2x-a2

a•2x

=

1

a

-

a

2x

，从而由复合函数的单调性证明；
（2）化简函数h（x）=f（x）-2^x=

1

a

-

a

2x

-2^x，从而分a＜0与a＞0求只有一个零点时a的取值，进而求出零点．

解答： 解：（1）证明：函数f（x）=

2x-a2

a•2x

=

1

a

-

a

2x

，
∵a＞0，∴y=

a

2x

是R上的减函数，
∴y=-

a

2x

是R上的增函数，
∴函数f（x）=

1

a

-

a

2x

在（-∞，+∞）上为增函数；
（2）函数h（x）=f（x）-2^x=

1

a

-

a

2x

-2^x，
当a＜0时，易知函数h（x）为减函数，
且当x→+∞时，h（x）→-∞，
当x→-∞时，h（x）→+∞；
故函数h（x）只有一个零点，
令

1

a

-

a

2x

-2^x=0解得，
x=log₂

1+ 1-4a3

-2a

；
当a＞0时，
h（x）=f（x）-2^x=

1

a

-

a

2x

-2^x=

1

a

-（

a

2x

+2^x）；
由

a

2x

+2^x≥2

a

知，
当

1

a

-2

a

=0，即a=

3 2

2

时，函数h（x）只有一个零点；
故此时x=-

1

3

；
故实数a的取值范围为（-∞，0）∪{

3 2

2

}．

点评：本题考查了导数的综合应用及复合函数的单调性的应用，同时考查了零点与方程的根的关系，属于中档题．