Question

椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁、F₂分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=

2 2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求

F1D

•

F2E

的值；
（Ⅲ）过点Q（1，0）任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与l交于R点，

RM

=x

MQ

，

RN

=y

NQ

． 求证：4x+4y+5=0．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用已知条件求出b，a，然后求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），推出直线PA、PB的方程，求得D，E两点的坐标求出向量，利用点P（x₀，y₀）在椭圆C上，即可求

F1D

•

F2E

的值；
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（4，t），利用

RM

=x

MQ

，得到：

x1= 4+x 1+x y1= t 1+x

（λ≠-1），代入椭圆方程，化简，由

RN

=y

NQ

得（4+y）²+9t²=9（1+y）²，然后消去t，即可得到4x+4y+5=0．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁、F₂分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=

2 2

3

，所以b=1，

a2-b2

a2

=

8

9

，解得a=3，
所求椭圆方程为：

x2

9

+y2=1…4分
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则直线PA、PB的方程分别为y=

y0

x0+3

(x+3)，y=

y0

x0-3

(x-3)，
将x=4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为D(4，

7y0

x0+3

)，E(4，

y0

x0-3

)．
由（Ⅰ），F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，
所以

F1D

•

F2E

=(4+2

2

，

7y0

x0+3

)•(4-2

2

，

y0

x0-3

)=8+

7 y 2 0

x 2 0 -9

，
又∵点P（x₀，y₀）在椭圆C上，
∴

x 2 0

9

+

y

2 0

=1⇒

y 2 0

x 2 0 -9

=-

1

9

，
∴

F1D

•

F2E

=

65

9

．…8分
（Ⅲ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（4，t），
由

RM

=x

MQ

得（x₁-4，y₁-t）=x（1-x₁，-y₁）
所以

x1= 4+x 1+x y1= t 1+x

（λ≠-1），代入椭圆方程得 （4+x）²+9t²=9（1+x）²①
同理由

RN

=y

NQ

得（4+y）²+9t²=9（1+y）²②
①-②消去t，得x+y=-

5

4

，所以4x+4y+5=0．…13分．

点评：本题考查椭圆的相关知识，直线与椭圆的位置关系的应用，考查学生运算能力、分析问题的能力，较难题．