Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA1⊥平面ABC，A₁B₁=A₁C₁=2，AA₁=1，∠B₁A₁C₁=120°，D是BC的中点，P是AD的中点，点Q在A₁B上且BQ=3QA₁
（1）求证：PQ∥平面AA₁C₁C；
（2）求平面AA₁B与平面A₁BD夹角的余弦值．

Answer 1

考点：平面向量数量积坐标表示的应用,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取B₁C₁中点O，连结OA₁，OD，以O为原点，OA₁为x轴，OB₁为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，求出

PQ

设和平面AA₁C₁C的法向量

n

，由

n

•

PQ

且PQ?平面AA₁C₁C，能证明PQ∥平面AA₁C₁C．
（2）分别求出平面AA₁B的法向量和平面A₁BD的法向量，利用向量法能求出平面AA₁B与平面A₁BD夹角的余弦值．

解答： （1）证明：取B₁C₁中点O，连结OA₁，OD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA1⊥平面ABC，
A₁B₁=A₁C₁=2，AA₁=1，∠B₁A₁C₁=120°，D是BC的中点，
∴OA₁⊥B₁C₁，OD⊥平面A₁B₁C₁，
B₁C₁=

4+4-2×2×2×cos120°

=2

3

，OA₁=

22-( 3 )2

=1，
以O为原点，OA₁为x轴，OB₁为y轴，OD为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（

1

2

，0，1），A₁（1，0，0），B（0，

3

，1），
∵点Q在A₁B上且BQ=3QA₁，∴Q（

3

4

，

3

4

，

1

4

），
∴

PQ

=（

1

4

，

3

4

，-

3

4

），
∵C₁（0，-

3

，0），
∴

A1A

=（0，0，1），

A1C1

=（-1，-

3

，0），
设平面AA₁C₁C的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • A1A =z=0 n • A1C1 =-x- 3 y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，-1，0），
∵

n

•

PQ

=

3

4

-

3

4

+0=0，PQ?平面AA₁C₁C，
∴PQ∥平面AA₁C₁C．
（2）解：∵A₁（1，0，0），B（0，

3

，1），A（1，0，1），D（0，0，1），
∴

A1A

=（0，0，1），

A1B

=（-1，

3

，1），

A1D

=（-1，0，1），
设平面AA₁B的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • A1A =z=0 n • A1B =-x+ 3 y+z=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，1，0），
设平面A₁BD的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • A1B =-a+ 3 b+c=0 m • A1D =-a+c=0

，取a=1，得

m

=（1，0，1），
设平面AA₁B与平面A₁BD夹角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

3

2 2

|=

6

4

．
∴平面AA₁B与平面A₁BD夹角的余弦值为

6

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．