Question

经过点P（0，2）作直线l交椭圆

x2

2

+y²=1于A，B两点．
（1）若△AOB的面积是

2

3

，求直线l的方程（其中O为原点）．
（2）当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线AB：y=kx+2，代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理，求出△AOB的面积为S=|x₁-x₂|，运用代入法，令S=

2

3

，解方程即可得到k；
（2）对（1）得到的S的关系式，令

2k2-3

=t（t＞0），将分子分母除以t，再由基本不等式即可得到最大值，同时得到k，即可得到所求方程．

解答： 解：（1）设直线AB：y=kx+2，
代入椭圆方程可得，（1+2k²）x²+8kx+6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则△=64k²-24（1+2k²）＞0，即为2k²＞3，
x₁+x₂=

-8k

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

，
△AOB的面积为S=S_△OBP-S_△OAP=

1

2

•|OP|•|x₁-x₂|
=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

64k2 (1+2k2)2 - 24 1+2k2

=2

2

•

2k2-3

1+2k2

，
令S=

2

3

，解得，k²=

5

2

或

11

2

，
即为k=±

10

2

或±

22

2

，
则直线l：y═±

10

2

x+2或y═±

22

2

x+2；
（2）由（1）可得，
S=2

2

•

2k2-3

1+2k2

，
令

2k2-3

=t（t＞0），
则2k²=3+t²，
则S=2

2

•

t

4+t2

=2

2

•

1

t+ 4 t

≤2

2

•

1

2 t• 4 t

=

2

2

．
当且仅当t=2即k=±

14

2

时，△AOB的面积最大，
此时直线l的方程为y=±

14

2

x+2．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．