Question

如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，
∠PCB=105°，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC
（如图乙），D，E分别是棱PB和PC的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥AC，PA⊥平面ABC，从而PA⊥BC，又由图甲知BC⊥BA，由此能证明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）法一：以点B为坐标原点，分别以射线BA，BC为x，y轴，以垂直平面ABC向上方向为z轴，利用向量法能求出二面角的余弦值．
法二：以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面ABC，并交于AC，
PA⊥AC，有PA⊥平面ABC，
故PA⊥BC，又由图甲知BC⊥BA，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB；…（6分）
（Ⅱ）解法一：如图所示，以点B为坐标原点，分别以射线BA，BC为x，y轴，
以垂直平面ABC向上方向为z轴，PA=2，则BC=1，BA=

3

，
A（

3

，0，0），P（

3

，0，2），C（0，1，0），
D（

3

2

，0，1），E（

3

2

，

1

2

，1），…（7分）

AD

=(-

3

2

，0，1)，

DE

=(0，

1

2

，0)，
设平面ADE的法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m • AD =(x，y，z)•(- 3 2 ，0，1)=0 m • DE =(x，y，z)•(0， 1 2 ，0)=0

，

- 3 2 x+z=0 1 2 y=0

，y=0，令x=2，则z=

3

，

m

=(2，0，

3

)，…（9分）
平面ABC的法向量

n

=(0，0，1)，cos＜

m

，

n

＞=

|m • n|

|m |×| n|

=

3

7 ×1

=

21

7

．…（11分）
故所求二面角的余弦值为

21

7

．…（12分）
解法二：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，
以垂直平面APC向外方向为y轴，PA=2，
则BC=1，BA=

3

，A（0，0，0），P（0，0，2），B（

3

2

，

3

2

，0），
C（2，0，0），D（

3

4

，

3

4

，1），E（1，0，1），…（7分）

AD

=(

3

4

，

3

4

，1)，

AE

=(1，0，1)，
设平面ADE的法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m • AD =(x，y，z)•( 3 4 ， 3 4 ，1)=0 m • AE =(x，y，z)•(1，0，1)=0

，

3x+ 3 y+4z=0 x+z=0

，
令x=1，则z=-1，y=

3

3

，
故

m

=(1，

3

3

，-1)，…（9分）
平面ABC的法向量

n

=(0，0，1)，cos＜

m

，

n

＞=

|m • n|

|m |×| n|

=

1

7 3 ×1

=

21

7

．…（11分）
故所求锐二面角的余弦值为

21

7

．…（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．