题目内容

在△ABC中，角A、B、C为其内角，若
1
tanA
，
1
tanB
，
1
tanC
依次成等差数列，则角B的最大值是
 
．
考点：余弦定理,同角三角函数基本关系的运用
专题：计算题,三角函数的求值,解三角形
分析：运用切化弦，结合两角和的正弦公式和诱导公式，再由正弦定理和余弦定理，得到a2+c2-b2=b2，再由余弦定理和基本不等式，即可得到最大值．
解答： 解：若
1
tanA
，
1
tanB
，
1
tanC
依次成等差数列，
则
2
tanB
=
1
tanA
+
1
tanC
=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+cosCsinA
sinAsinC

=
sin(A+C)
sinAsinC
=
sinB
sinAsinC
，
即有
2cosB
sinB
=
sinB
sinAsinC
，即2cosB=
sin2B
sinAsinC
，
由正弦定理可得，2cosB=
b2
ac
，
再由余弦定理可得，a2+c2-b2=b2，
即有cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
b2
2ac
，
由于a2+c2≥2ac，即b2≥ac，
即有cosB≥
1
2
，由于0＜B＜π，
即有B≤
π
3
．
B的最大值为
π
3
．
故答案为：
π
3
．
点评：本题考查同角的商数关系及诱导公式和两角和的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理的运用，考查基本不等式运用求最值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设F1、F2为椭圆
x2
4
+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，
PF1
•
PF2
的值等于
 
．
经过点P（0，2）作直线l交椭圆
x2
2
+y2=1于A，B两点．
（1）若△AOB的面积是
2
3
，求直线l的方程（其中O为原点）．
（2）当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n∈N*，n≥2），a1=2．
（1）设bn=
1
2n
（an+1），求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
已知函数f（x）=sinxcosx-
3
sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，
π
2
]的值域；
（Ⅲ）能否把函数f（x）的图象进行适当的平移得到一个奇函数的图象？如果能，写出一个平移的方法；如果不能，请说明理由．
数列{an}的前n项和为Sn，已知若a1=
1
2
，Sn=n2an-n（n-1）（n∈N*）
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）求数列{an}的通项；
（Ⅲ）设bn=
1
SnSn+1
，数列{bn}的前n项的和为Tn，证明：Tn＜
5
2
（n∈N*）
根据已知条件完成下列小题：
（1）已知椭圆的焦点在y轴，且a+c=20，a-c=4，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的焦点在x轴，焦距是8，离心率e=2，求双曲线的标准方程．
已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b．当0≤x≤1时，证明：
（1）函数f（x）的最大值力|2a-b|+a；
（2）f（x）+|2a-b|+a≥0．
已知数列{an}的递推公式an=
n，n为奇数
a
n
2
，n为偶数(n∈N*)
，则a2012+a2013=（　　）
A、2516B、2518
C、3019D、3021

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