Question

已知函数f（x）=lnx-x+1．
（1）求函数f（x）的单调区间和最值；
（2）已知不等式3ln（x+1）＜3x+m对一切x＞-1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f′（x），分别令f′（x）＞0和f′（x）＜0求出其单调区间，从而确定其最值．
（2）先进行参数分离，将问题转化成m＞3ln（x+1）-3x对x＞-1恒成立，令g（x）=3ln（x+1）-3x，则m＞g（x）_max即可，再对g（x）求导确定其最大值．

解答： 解：（1）f（x）=lnx-x+1的定义域为（0，∞），f′(x)=

1-x

x

，
令f′（x）＞0，0＜x＜1；令f′（x）＜0，x＞1．
∴f（x）的增区间是（0，1），减区间是（1，+∞），且f（x）在x=1处取得极大值也是最大值0，没有最小值．
（2）由3ln（x+1）＜3x+m，得m＞3ln（x+1）-3x对x＞-1恒成立，
令g（x）=3ln（x+1）-3x，
只须m＞g（x）_max即可．
g′(x)=

3

x+1

-3=

-3x

x+1

，（x＞-1）
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0；当x＞0时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
∴g（x）_max=g（0）=0得m＞0
故m的取值范围为（0，+∞）．

点评：关于用导数研究函数单调性的两个题型：1．已知函数表达式，求f（x）的单调区间；2．已知函数单调性，求其中的参数范围．两种题型都是很常见也是经常考察的内容，学生在做题时要注意区分．