Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：面BB₁DD₁⊥面AB₁C；
（2）求二面角A-B₁C-D₁的平面角的余弦值（理）；
（3）求直线B₁C与平面ABCD所成角（文）．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）根据面面垂直的判断定理即可证明面BB₁DD₁⊥面AB₁C；
（2）根据二面角的定义先找出二面角，即可求二面角A-B₁C-D₁的平面角的余弦值（理）；
（3）根据直线和平面所成角的定义即可求直线B₁C与平面ABCD所成角（文）．

解答： （1）证明：∵D₁D⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴D₁D⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC?面AB₁C，
∴面BB₁DD₁⊥面AB₁C；
（2）过点A点作AO⊥B₁C交B₁C于O，则O点为B₁C的中点，连结D₁O，D₁C，
则D₁B₁=B₁C=CD₁，
∴D₁O⊥B₁C，
设正方体的棱长为a，连结AD₁，
在△AOD中，AO=

6

2

，OD₁=

6

2

，AD₁=

2

，
由余弦定理得cos∠AOD1=

AO2+O D 2 1 -A D 2 1

2AO•OD1

=

1

3

，
即二面角A-B₁C-D₁的平面角的余弦值为

1

3

；
（3）直线B₁C在平面ABCD的射影为BC，
则∠B₁CB是直线B₁C与平面ABCD所成的角，
则∠B₁CB=45°．

点评：本题主要考查面面垂直的判定依据空间角的求解，要求熟练相应的判断定理以及空间角的求解．